Racionalizando denominadores de uma expressão fracionária

Quando o Denominador é uma Raiz Quadrada

Este é o caso mais simples, quando tratamos radicais com índice igual a dois.

Vamos analisar a seguinte fração:

É sabido que podemos eliminar o radical se multiplicarmos por ele mesmo. Vejamos:

Partimos de e chegamos a 5.
A conversão foi realizada em bem mais passos que o necessário, apenas para que você se recorde das principais propriedades da radiciação, que torna a conversão possível.
Então quando temos um radical de índice dois, podemos eliminá-lo multiplicando-o por ele mesmo, pois e além disto, para que nova a fração seja equivalente à fração original, também precisamos multiplicar o numerador pelo mesmo valor:

Neste nosso exemplo é o fator racionalizante da fração, pois a racionalizamos multiplicando ambos os seus termos por tal fator.
Genericamente o fator racionalizante de um denominador é o próprio .

Exemplos

Quando o Denominador é uma Raiz Não Quadrada

Agora vamos tratar um caso cujo índice seja diferente de dois, ou seja, um caso onde não temos uma raiz quadrada.

Observe a fração a seguir:

Neste caso de nada adianta multiplicarmos o radical por ele mesmo, pois não conseguiremos eliminá-lo. Veja o que acontece quando o fazemos:

Perceba que no caso anterior havíamos partido de e passamos por 5¹, o que nos permitiu chegarmos a 5.
Note que neste caso, porém, partindo-se de chegamos a e como 2 não é divisível por 3, não conseguimos eliminar o radical.
Então o que precisamos fazer?
Obviamente devemos multiplicar o radical, por um outro fator de sorte que consigamos chegar a e não a .
Qual fator é este?
É muito simples. Veja o ponto chave abaixo:

Qual é o número que somado a 1 dá 3?
É dois, pois 3 - 1 = 2.
Então o fator racionalizante da fração é , pois:

Logo:

Podemos então concluir que o fator racionalizante de um denominador é igual a .

Exemplos

Quando o Denominador é uma Soma ou Diferença de Dois Quadrados

Agora no último caso a ser tratado, veremos como devemos proceder quando no denominador da fração temos uma soma ou diferença de um ou dois radicais com índice igual a 2.

Vejamos a fração abaixo:

Como pode observar, os métodos analisados acima não nos permitem racionalizar este tipo de fração. Para fazê-lo precisamos recorrer a um produto notável, mais especificamente ao produto da soma pela diferença de dois termos.
Mais especificamente, neste produto notável, o produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos o quadrado do segundo termo. Algebricamente temos:

Conseguiu perceber como podemos utilizar este conceito para racionalizarmos a fração proposta?
Parabéns se conseguiu, mas se não conseguiu tudo, daqui a pouco você estará apto a fazê-lo.
Vamos ver o que acontece quando substituímos a por e b por :

Percebeu agora?
Observe que originalmente tínhamos a expressão que multiplicamos por , perceba que invertemos o sinal, trocamos "+" por "-", se tivéssemos "-", o teríamos trocado por "+".
Como elevamos e ao quadrado, eliminamos assim os radicais.
Como nos casos anteriores, devemos multiplicar ambos os termos da fração pelo fator racionalizante, que neste exemplo é :

Neste último caso o fator racionalizante de um denominador será e vice-versa.

Exemplos

Neste último exemplo convertemos tanto 18 em 2 ^_. 3², quanto 12 em 2^2 _. 3 através da decomposição em fatores primos, que você pode revisar se for o caso. Nós também disponibilizamos no site uma calculadora para a fatoração de números naturais, que pode lhe ajudar muito a entender melhor como funciona o método de decomposição de um número natural em seus fatores primos.

fonte:http://www.matematicadidatica.com.br/RacionalizacaoDenominadores.aspx